Resumen

Nuestro mundo esta gobernado por el cambio, quizás, nada más antiguo que la observación del cielo, que la medición del tiempo. Aunado a estas observaciones, el descubrimiento de los ciclos del mundo y, con ello, la idea de que algo permanece en el cambio. El estudio del movimiento, como observa Galileo, es muy antiguo:

«Tal vez no haya, en la naturaleza, nada más antiguo que el estudio del movimiento»

Y aunado a ello, la pregunta más antigua: ¿algo en verdad permanece en el cambio?
Desde tiempos inmemoriales los sabios han dejado asentado su inquietud por aprehender esta constante del mundo, baste, la siguiente sentencia poética:

«El fuego descansa cambiando» (Heráclito).

Así, pues, lo que posibilita el cambio es lo que no esta cambiando en el cambio: lo invariante. Hay una forma matemática de medir el cambio y, con ello, describir cómo se modifica a través del tiempo. Éste el objetivo de «las Ecuaciones Diferenciales». Y, el de la «Modelación», convertir las reglas que gobiernan la evolución de una cantidad, que esta cambiando, en una ecuación diferencial. Existen dos técnicas para efectuar predicciones:

a) Las técnicas analíticas que implican encontrar fórmulas.
b) Los métodos cualitativos que se apoyan en un esbozo gráfico del cambio como función del tiempo.

El estudio del concepto de ciclo límite, en un modelo, a través de los métodos cualitativos se asocia con la idea de garantizar la existencia de una curva cerrada invariante. En el caso del modelo de competencia de dos especies: presa-depredador, ¿se puede garantizar la existencia de un ciclo límite? De ser este el caso, ¿qué interpretación fenomenológica tendría? En caso contrario, la no existencia de ciclos límite qué interpretación fenomenológica tendría: ¿una de las dos especies se extingue? O, ¿pueden convivir en armonía ambas especies? Lo antes mencionado, motiva la necesidad fenomenológica del estudio de los ciclos límite. En esta plática abordamos el problema 16 de Hilbert, que propone estudiar el número y la posición de los ciclos límite para una ecuación diferencial polinomial, para los llamados sistemas cuadráticos autónomos dos dimensionales que surgen en biología matemática en el estudio de los modelos presa-depredador, en mecánica no lineal y en el estudio de flujo de fluidos compresibles.

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La práctica, en la Antigüedad, en la resolución de problemas geométricos de diferente naturaleza condujo a diferentes mecanismos a través de los cuales la generación de ciertas curvas y sus respectivas intersecciones con otras permitió resolver un amplio espectro de problemas (Ver Geometría Sintética), entre ellos, los tres grandes problemas de la Antigüedad: duplicación del cubo (Ver El problema Délico), trisección de un ángulo (Ver Trisección de un ángulo) y cuadratura de un círculo (Ver Cuadratura de un círculo). Toda esta tradición geométrica permitirá, en el siglo XI, a Al-Khayyam resolver ecuaciones cuadráticas y cúbicas a través de la intersección de secciones cónicas. En general, se podría uno plantear el problema de resolver una ecuación de grado n con coeficientes reales. Gauss, a fin de obtener los máximos honores en filosofía, presenta en 1799 «Una nueva prueba al teorema de que toda función algebraica racional en una variable se puede descomponer en factores reales de primer o segundo grado», y como consecuencia todas las raíces de un polinomio de grado n con coeficientes reales son reales o complejas. El trabajo de Gauss se circunscribe en una tradición clásica, toda vez que para Gauss resolver una ecuación no significa establecer las raíces de ésta a través de una expresión analítica, es decir, encontrando una fórmula, ya que él mismo duda de esta posibilidad para ecuaciones de quinto grado, ya que se sabía, por las fórmulas de Cardano, que para ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas si era esto posible. ¿Cuál la naturaleza de las curvas cuya intersección permite determinar las raíces de una ecuación de grado n con coeficientes reales?

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La plática aborda la historia de los números complejos a través de los problemas de naturaleza geométrica que dan cuenta de su aparición (Ver Historia de los números complejos en tres actos). Mostrando que los nombres de cantidades imposibles y cantidades imaginarias que recibieron –lo que hoy conocemos como números complejos– están asociados con la imposibilidad de darles un sentido geométrico. Lo anterior, nos obliga a pensar las matemáticas tal como eran concebidas en cada época: desde la Antigüedad (300 a. C.), con los trabajos de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Pappus (siglo IV), Al-khayy ̄am (siglo XI), Cardano, Viète, Descartes, Wallis hasta finales del siglo XVIII con la tesis doctoral de Gauss. Circunscribiéndose la plática en una tradición clásica donde los conceptos de cantidad, construcción, cálculo y número ocupan un lugar central. Conceptos que establecen la relación entre álgrebra y geometría tanto si regresamos al origen de las situaciones que subyacen a la ininteligibilidad de los números complejos, como si queremos entender el proceso que nos lleva de una cantidad imaginaria (o imposible) a la representación geométrica de un número complejo.

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Bajo el supuesto de que nos es dado algo, como verdadero, qué más nos es dado. La búsqueda de nuevas verdades nos conduce a la variación de configuraciones geométricas cuyas propiedades se conservan bajo esta variación continua. En este sentido, la variación continua en geometría deviene en la antesala de una heurística. De esta forma, nos interesa abordar esta heurística en el Teorema de Menelao.

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En la Antigüedad, Euclides desarrollo un método para cuadrar cualquier figura rectilínea dada. Un método para encontrar un cuadrado igual en área a la de cualquier figura rectilínea dada (Ver Método de Aplicación de Áreas). Detrás de este método, «el arte de soldar cuadrados», yace el descubrimiento de una propiedad geométrica que cumplen todos los triángulos rectángulos: el Teorema de Pitágoras. Y, a su vez, detrás de la veracidad de esta propiedad geométrica yace el antiguo método de la aplicación de áreas, método que conjugado con el arte de la analogía nos permite saber: a condición de qué la propiedad geométrica de los triángulos rectángulos -Teorema de Pitágoras- se puede extender a cualquier triángulo.