Dada la representación de las raíces complejas de la ecuación x²+b²=ax dada por John Wallis (1673) en la que la parte real e imaginaria no son ortogonales, como lo representamos hoy día, se puede observar que si bien, Wallis, no puede darle sentido a la suma de números complejos conjugados, asociados a las raíces de la ecuación cuadrática antes mencionada, cuya suma es a. Wallis muestra que las proyecciones de éstas –proyección de C y C’— al segmento AB (como se muestra en la figura), sí suman a (longitud del segmento AB). De esta forma, si consideramos el paralelogramo que forman estas raíces, AB coincide con la proyección de la diagonal sobre el segmento AB. Es decir, la representación geométrica de los números complejos, dada por Wallis, no es compatible con el cálculo de los mismos como expresiones algebraicas en las que se multiplican o suman como si multiplicase o sumase  números reales salvo que (√-1)²=-1. ¿Existe una representación de los números complejos cuyo cálculo sea compatible con su representación geométrica? En 1637 Rene Descartes lleva la solución del viejo problema de la

trisección de un ángulo (ver figura) a la solución de la ecuación cúbica x³+qr²=3r²x, donde q es la cuerda NP que determina el ángulo NOP a trisecar, r radio del círculo donde se inscribe el ángulo a trisecar y x (NQ o NV) la cuerda que subtiende la tercera parte del ángulo dado. Cuando q<2r, el problema tiene dos soluciones reales y, por ende, tres raíces reales. Ésta tercera raíz negativo de la suma de las otras dos, raíz positiva de la ecuación x³=Ax+B, aplicando las fórmulas Cardano para la misma, resulta que la condición para que esta ecuación tenga soluciones reales es, q>2r, haciendo A=3r², B=qr². ¿Dónde yace el absurdo? Equivalentemente, para que en la fórmula de Cardano que expresa la solución real de la ecuación cúbica aparezcan números complejos es, q<2r, así pues la raíz real se expresa, según las fórmulas de Cardano, como la suma de dos números complejos conjugados. ¿Existe un problema de naturaleza geométrica asociado a esta tercera raíz como el caso de las otras dos raíces asociadas a la trisección de ángulos conjugados?