La generalidad y la abstracción son rasgos distintivos del quehacer matemático toda vez que, éste, se circunscribió a la búsqueda de la verdad.

El arte de hacer matemáticas consiste en encontrar ese caso especial que contiene todos los gérmenes de generalidad.

David Hilbert

¿Qué es lo que nos ha enseñado a conocer la verdad, las analogías profundas, aquellas que el ojo no ve pero la razón adivina? Es el espíritu matemático, que desdeña la materia para adherirse a la forma pura. Esto es lo que nos ha enseñado a dar el mismo nombre a cosas difiriendo sólo materialmente.

Henri Poincaré

El camino de la verdad es largo, sin embargo, existe una forma sistemática de abordarla. En este sentido, la Antigüedad, distinguió entre el arte de descubrimiento de la verdad y el arte de exposición de la verdad.

Puesto el fin, consideran cómo y por qué medios pueden alcanzarlo; y si parece que el fin puede ser alcanzado por varios medios, examinan cuál es el más fácil y mejor, y si no hay más que uno para lograrlo, cómo se logrará a través de éste, y éste, a su vez, mediante cuál otro, hasta llegar a la causa primera que es la última en el descubrimiento… y lo último en el análisis es lo primero en la génesis.

Ética Nicomáquea – Ética Eudemia, Aristóteles

Para fijar ideas, supongamos que nos solicitan demostrar la veracidad de la proposición P₁ y, para ello, deducimos como consecuencia de lo que nos fue dado: P₁, las proposiciones P₂, P₃, hasta P_n, pero, P_n es una proposición conocida o deducible de mi conjunto de axiomas, definiciones y postulados. El camino de P₁ a P_n:

desvela el análisis que nos permite dar cuenta cómo podemos deducir la veracidad de P₁ de una proposición conocida P_n que, a su vez, puede ser deducida de nuestro conjunto de axiomas, definiciones y postulados. El camino inverso,

puede no siempre existir pero cuando éste existe nos permite demostrar la veracidad de la proposición P₁. Encontrar las condiciones que posibilitan el camino inverso es equivalente en general a saber cuándo la implicación inversa de una implicación es cierta:

El camino de P₁ a P_n se conoció, en la Antigüedad, como el método del análisis, es decir, suponiendo la veracidad de la proposición que quiero demostrar, P₁, qué otras propiedades puedo deducir de este hecho o hipótesis, y de éstas cuál es ya conocida o deducible de mis supuestos: axiomas, definiciones y postulados. El camino de P_n a P₁, se conoció como el arte de exposición de la verdad (o síntesis), respecto al arte de descubrimiento de la verdad, el método del análisis jugo un papel importante en desvelar no la verdad sino el cómo corroborarla, es el principio de variación continua (ver Geometría Sintética) la heurística que les permitió, a los antiguos, circunscribirse al arte de descubrimiento de la verdad.

Ahora bien, el esquema de la síntesis:

nos permite reparar en los atributos principales que subyacen a todo quehacer matemático, a saber, la generalidad y la abstracción. Supongamos que P_n no es una proposición conocida sino un principio, axioma, definición o postulado. Conocer el alcance de un axioma, definición o postulado nos permite generalidad.

Me explico, supongamos que P_n es el quinto postulado de la geometría euclidiana:

Postulado 5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos [180°], las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.

Elementos, Euclides.

Analizar el alcance del quinto postulado nos permite saber qué propiedades de las figuras dependen del mismo y que, al mismo tiempo, nos permitiría saber que éstas no valdrían en geometrías no-euclidianas (o independientes del quinto postulado). O, en su defecto, nos permitiría saber qué propiedades son propias de la geometría absoluta, es decir, valdrían en cualquier geometría.

Por ejemplo, si P’ es la proposición que afirma que el ángulo inscrito en una circunferencia que subtiende un arco de semicircunferencia es de 90°, depende del quinto postulado (P_n);

si Q’ es la proposición que afirma que la suma de los ángulos interiores de un triangulo es 2R (180°), depende del quinto postulado (P_n); si R’ es la proposición que afirma que las líneas rectas paralelas son equidistantes, depende del quinto postulado (P_n).

De esta forma, en una geometría independiente del quinto postulado, podríamos preguntarnos, ¿cuánto vale el ángulo inscrito en una circunferencia que subtiende un arco de semicircunferencia?; ¿cuánto valen la suma de los ángulos interiores de un triángulo?; ¿cuál el comportamiento de las líneas paralelas?, más aún, ¿existen las paralelas?

Por otro lado, la abstracción, nos permite profundizar en el sentido y significado de nuestros axiomas, definiciones o postulados.

Para fijar ideas, supongamos que P_n es la definición XI.10 de los Elementos de Euclides que reza

Definición 10. Las figuras sólidas iguales son aquellas que están contenidas por planos iguales [y situados de manera similar], iguales en número y magnitud.

Elementos, XI. Euclides [Herón].

Esta definición euclidiana recoge un criterio para saber cuándo dos figuras sólidas rectilíneas [convexas] son congruentes (y, por ende, del mismo volumen). Esta definición se consideró un teorema, es decir, deducible de nuestros axiomas, definiciones y postulados de la geometría plana y sólida toda vez que, una propiedad análoga en el plano, criterios de congruencia de triángulos son teoremas (salvo el criterio de congruencia Lado-Angulo-Lado que, prácticamente, Hilbert axiomatiza en Foundations of Geometry. ¿Por qué?). Entonces, ¿por qué este criterio de congruencia para sólidos rectilíneos [convexos] tendría que tener el estatus de una definición? ¿Por qué no se demuestra por el método de superposición como el caso de los criterios de congruencia para triángulos?

La demostración de este hecho depende de varias propiedades acerca de los polígonos convexos y de los ángulos sólidos. Propiedades que hacen referencia no a una propiedad de magnitud sino a una propiedad topológica. De entre ellas, podríamos resaltar el invariante de Euler:

Teorema. En un poliedro convexo, se cumple

V-A+C=2,

donde V, denota el número de vértices; A, el número de aristas y C, el número de caras.

Lo cual tienen como consecuencia las siguientes observaciones:

Teorema [Cauchy, 1813]. En un poliedro convexo cuyas caras son todas invariantes, los vértices comprendidos entre las caras o, lo que es lo mismo, las inclinaciones en las distintas aristas son también invariantes; de modo que, con las mismas caras, solo se puede construir un segundo poliedro convexo simétrico al primero.

Corolario. Dos poliedros convexos, incluidos bajo el mismo número de caras iguales y colocadas de manera similar, son superponibles o simétricos y, en ambos casos, son necesariamente iguales.

De esta forma, Cauchy hace descansar la demostración de la definición XI.10 de los Elementos de Euclides en una serie de proposiciones, P’₂, P’₃, … , P’_n-1, asociadas a polígonos convexos y ángulos sólidos, y a la proposición, P₀, asociada al invariante de Euler (Teorema de Euler antes citado).

Ahora bien, en el plano se pueden construir dos polígonos convexos de cuatro lados de la misma longitud, no simétricos y no superponibles:

Lo cual nos invita a reflexionar acerca de la naturaleza del espacio, toda vez que, la observación análoga en el espacio no sucede por Teorema de Cauchy.

Ahora supongamos que P₀ es el método de exhaución y P₁, la proposición que a la letra dice

Proposición. Las pirámides que tienen la misma altura y tienen triángulos como bases son entre sí como sus bases.

Elementos, XII.5. Euclides

Lo que estamos observando es que el cálculo del volumen de una pirámide depende del método de exhaución. ¿Podemos demostrar P₁ sin hacer uso del método de exhaución? Detrás de la respuesta a esta pregunta subyace nuestra comprensión de la naturaleza del espacio, ya que la propiedad análoga en el plano, a saber,

Proposición. Los triángulos que tienen la misma altura […] son entre sí como sus bases.

Elementos, VI.1. Euclides

Es independiente del método de exhaución. La pregunta equivalente, en analogía con el procedimiento que conduce a la demostración de la pregunta análoga en el plano y que no usa el método de exhaución sino los procedimientos de equidescomposición y equicomplementariedad (ver Cálculo del área en la Antigüedad), reza

Problema [Tres de Hilbert, 1900]. Dados dos tetraedros de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en una cantidad finita de piezas tetraédricas que puedan ser ensambladas de modo que quede armado el segundo?

La respuesta es no. En suma, lo insoslayable del infinito en el espacio para el cálculo del volumen de una pirámide, a diferencia del plano donde el cálculo del área de un triángulo soslaya el infinito. Nos invita a reflexionar acerca de la naturaleza del espacio; el cálculo del volumen para sólidos rectilíneos [convexos] conduce a desvelar propiedades topologícas, en el plano y en el espacio, de las que depende este cálculo, lo cual nos invita a conjeturar si, en general, ¿el cálculo de las magnitudes: longitud, área y volumen se puede reconstruir por las propiedades no de magnitud sino de posición, es decir, de propiedades topologícas?

Supongamos, ahora, que P₁ es el quinto postulado, es decir, buscamos demostrar el quinto postulado. Empresa que, por ejemplo, emprendió Girolamo Sacceri, jesuita del siglo XVII, sin éxito. El quinto postulado se considero un teorema y no un postulado por lo controversial de su planteamiento. Me explico, consideremos dos líneas, l₁ y l₂, y una transversal, l₃, que hace ángulos internos del mismo lado iguales a un recto (90°).

Se puede intuir que el comportamiento de l₁ y l₂ respecto a uno u otro lado de l₃ es el mismo, es decir, que si l₁ y l₂ se cortan de un lado se tendrían que cortar del otro lado pero dos líneas rectas no pueden cortarse en más de un punto (equivalentemente, dos líneas rectas no pueden encerrar espacio). Así pues, dada la naturaleza de una línea recta, l₁ y l₂ tendrían necesariamente que ser paralelas, es decir, que al prolongarse indefinidamente de uno u otro lado de l₃ nunca se cortan. Ahora bien, supongamos que l₃ es ortogonal a l₂ y con l₁ hace un ángulo agudo, de manera que la suma de los ángulos internos del mismo lado es menor a 2R (180°).

Entonces, ¿l₁ y l₂ se cortan?, ¿de qué lado se cortan? ¿Por qué la respuesta a estas preguntas tendrían que tener la evidencia de un axioma?

Por otro lado, por qué lo que le sucede a una hipérbola, l₁, respecto a su asíntota, l₂, no tendría que suceder cuando l₁ y l₂ son dos líneas rectas, a saber, incidiendo l₃ con l₁ y l₂, y hacer ángulos internos del mismo lado menores que 2R, l₁ y l₂ no se cortan.

En suma, la distinción fundamental que subyace al quinto postulado, a saber, línea recta y línea curva no tiene la evidencia de un axioma. Consideremos dos hipérbolas simétricas, l₁ y l₂, respecto a la perpendicular común l₃. Y, sin embargo, l₁ y l₂ no se cortan.

Qué de mis axiomas, definiciones y postulados (excepto el quinto), incluyendo mi definición de línea recta que a letra dice,

Definición 4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella

Elementos, Euclides.

Nos permite excluir el comportamiento de los casos , l₁ hipérbola y l₂ línea recta, y, l₁ y l₂ hipérbolas. En otras palabras, qué hace que una línea recta sea recta (o se vaya derecha). Qué, supuesto o hipótesis, determina la naturaleza de una línea recta toda vez que el concepto de línea curva como aquella en la que ninguna parte es recta, es claro, toda vez que el concepto de línea recta lo sea, pero el concepto de línea recta, según su definición, es poco claro o incompleto si nos circunscribimos al hecho de que la característica principal, dos líneas rectas no encierran espacio, no esta justificado en el contexto euclidiano: