«el reconocimiento de las cantidades, innato en la mente, dice cuál debe ser la naturaleza del ojo; y, por lo tanto, el ojo se ha hecho como es porque la mente es como es, y no al revés. ¿Y para qué malgastar palabras? La geometría, que antes del origen de las cosas era coeterna con la mente divina y es Dios mismo (pues ¿qué podría haber en Dios que no fuese Dios mismo?), proporcionó a Dios modelos para la creación del mundo y pasó al hombre junto con la imagen de Dios; y de hecho no fue captada por los ojos.»
— Harmonices Mundi, Johannes Kepler.
El arte de medir exactamente
El primer texto—modelo—de las matemáticas, los Elementos de Euclides (siglo IV a. C.), parte de un grupo de definiciones, nociones comunes y postulados (modelo axiomático) para derivar de ello un conjunto de proposiciones que versan sobre las propiedades de las figuras planas y sólidas. Distinguimos, también, la importancia de las descripciones y construcciones de las figuras para deducir después sus propiedades. Supeditadas en mayor o menor medida a la resolución de un problema o a la deducción de nuevas propiedades.
A diferencia de las demás geometrías: analítica, diferencial, simpléctica, etcétera. Que se podrían definir como el estudio de los invariantes bajo un grupo de transformaciones. La geometría sintética todavía no se auxilia del concepto de espacio y, sobre todo, del concepto de unidad de medida. En este sentido, la geometría, para este caso, se va a definir como el arte de medir exactamente. Pero, ¿cómo medir exactamente sin una unidad de medida? Dicho arte motiva el estudio de la geometría del triángulo, del cuadrilátero y del círculo, y de las construcciones mal nombradas con «regla y compás». Detrás del estudio de las propiedades del triángulo se desvela, a su vez, el estudio de las propiedades de una figura distinguida que permite medir exactamente a cualquier figura rectilínea: El cuadrado; Ahora bien, más allá de estudiar las propiedades del círculo y de los polígonos regulares construibles con «regla y compás», yace la característica del triángulo y del círculo que permite medir al círculo exactamente y la que permite tomar como unidad de medida al círculo para medir exactamente otras figuras, respectivamente.
Yendo más allá en el análisis, la geometría hunde sus raíces en el proyecto geométrico de reducir la solución de cualquier problema geométrico al cálculo de la longitud de algunos segmentos de línea recta. Reducción que posibilitó el nacimiento de la geometría analítica. Más aún, posibilitó la fundamentación de los números reales.
Así, pues, la geometría, en general, se va a definir como el estudio de las propiedades de las figuras. En el caso que nos compete esencial el estudio de la geometría del triángulo, del cuadrilátero y del círculo. Objetivo, éste, de nuestro interés para motivar un primer curso de Geometría Moderna.
