El algoritmo de la división de Euclides y el Principio del Buen orden, nos permiten expresar al Máximo Común Divisor de dos números enteros m y n como combinación lineal entera de dichos números. A su vez, este hecho, nos permite saber bajo qué condiciones una ecuación lineal de coeficientes enteros tiene soluciones enteras. Ahora bien, encontrar las soluciones enteras de una ecuación lineal, mx+ny=d, es, encontrar los puntos en el plano de coordenadas enteras que pertenecen a la línea recta cuya ecuación es mx+ny=d. Si la recta no contiene puntos de coordenadas enteras que pertenezcan a cierto rectángulo, que depende de los coeficientes m y n, entonces no contiene ningún punto del plano de coordenadas enteras. Ya que el comportamiento de la línea recta se repite después de cruzar los lados de dicho rectángulo. Por otro lado, si tiene al menos una solución, (u, v), entonces tiene una infinidad de soluciones: (u-kn, v+km), con k cualquier número entero. … More Soluciones enteras de una ecuación lineal

Acompañar el rigor matemático que subyace a una demostración con la intuición detrás de este razonamiento, nos conduce a distinguir entre el arte de descubrimiento de la verdad y el arte de exposición de la verdad. Artes cuyos orígenes se remontan hasta la Antigüedad con Platón y Aristóteles. Lo que uno suele leer en los libros de textos de matemáticas es el arte de exposición de la verdad pero nunca el arte de descubrimiento de la verdad.

«Bello, sin reservas, es el amor a la verdad. Lleva lejos y es difícil alcanzar el final del camino. Más difícil es, sin embargo, la vía de regreso, cuando se quiere decir la verdad. Querer mostrar la verdad desnuda es menos bello, porque turba como una pasión. Casi todos los buscadores de verdad han sufrido esta enfermedad, desde tiempos inmemoriales» Giorgio Colli … More Principio del buen orden

Resolver, en general, la ecuación: nx=m, con n y m números naturales, o, bx=a, con a y b segmentos de línea recta. Nos conduce, en la primera ecuación, a observar que cuando n divide a m, ésta, tiene solución en los números naturales. En caso contrario, cuando n no divide a m, por el algoritmo de la división, m=kn+r, con k y r números naturales; 0<r<k. Es decir, esta ecuación no tiene solución en los números naturales.

Para la segunda ecuación, contrario al primer caso, ésta siempre tiene solución, es decir, siempre existe un segmento de línea recta tal que x=a/b.

Contrario a lo que se suele pensar de la matemática griega en la Antigüedad, Euclides desarrollo un método, llamado método de aplicación de áreas, que le permitió sumar áreas (de cualesquiera dos figuras rectilíneas en el plano) y, en particular, le permitió dividir cualesquiera dos segmentos línea recta. ¡Los griegos sabían dividir! … More Divisibilidad

La heurística que subyace al razonamiento inductivo, o a la deducción por observación, y ejemplificada en la suma de los primeros n números: 1+2+3+…+n, o, a través de, la suma de los primeros (n+1)-impares: 1+3+5+7+…+(2n+1). Objetivo, éste, de nuestro interés para motivar el Principio de Inducción. 
«… las propiedades de los números conocidos hoy han sido en su mayor parte descubiertas por observación, y mucho tiempo antes de que su verdad haya sido confirmada por rigurosas demostraciones… Debemos distinguir cuidadosamente de la verdad el conocimiento que sólo se apoya en observaciones y no ha sido aún probado; se trata de un conocimiento obtenido por inducción, como usualmente decimos.» Euler … More Principio de Inducción

La necesidad de independizar el concepto de número de su asociación con el concepto de magnitud geométrica conduce a Richard Dedekind a la definición abstracta de número que tenemos modernamente (definición axiomática). Es esta independencia la que nos hace olvidar que ante todo el concepto de número históricamente se asoció con problemas de naturaleza geométrica que, a su vez, dieron cuenta de la aparición de las diferentes naturalezas de los números: números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales y números complejos. De nuestro interés, retomar esta asociación olvidada por el desierto de las definiciones matemáticas. 

«Una definición en matemáticas mata cien años de historia» Jean D’hombres … More Álgebra Superior

El concepto de límite, concepto fundamental que subyace al cálculo diferencial e integral, toda vez que, la continuidad, la derivada y la integral, se definen a través de éste. Encuentra su motivación en la Antigüedad con el «cálculo del área del círculo» y el «cálculo del área de la espiral», debido a Euclides y Arquímedes, respectivamente. La necesidad de acompañar el concepto formal de límite con la idea intuitiva del principio de divisibilidad infinita para áreas y del principio de divisibilidad infinita para ángulos que, a su vez, subyacen al cálculo de los dos ejemplos antes mencionados, respectivamente. Objetivo, éste, de nuestro interés para motivar un primer curso de Cálculo Diferencial e Integral. … More Lo insoslayable del infinito en la comprensión de lo finito

El instante, mi corazón deshoja
cinco letras de él caen, te busco
mas las estrellas deletrean: ¡Bella!
y Elena mis labios te recogen … More Llamado

Movimiento de pensamiento alado
abrazado de tiempo pasado
por aliento, de momento colgado … More Multiverso

Busco en los días
lo que fui
Sobre eternidades
la mirada anda
Recojo lo que soy
poesía eres tú
Abrazo de presente
el tiempo pasado
El recuerdo
la noche ha alcanzado
Despierto
de momento abrazado … More Nostalgia