«El objetivo del rigor matemático es confirmar y legitimar las conquistas de la intuición y nunca ha tenido otra finalidad».
— Jacques Hadamard
Descenso finito e infinito
Acompañar el rigor matemático que subyace a una demostración con la intuición detrás de este razonamiento, nos conduce a distinguir entre el arte de descubrimiento de la verdad y el arte de exposición de la verdad. Artes cuyos orígenes se remontan hasta la Antigüedad con Platón y Aristóteles. Lo que uno suele leer en los libros de texto de matemáticas es el arte de exposición de la verdad pero nunca el arte de descubrimiento de la verdad.
Bello, sin reservas, es el amor a la verdad. Lleva lejos y es difícil alcanzar el final del camino. Más difícil es, sin embargo, la vía de regreso, cuando se quiere decir la verdad. Querer mostrar la verdad desnuda es menos bello, porque turba como una pasión. Casi todos los buscadores de verdad han sufrido esta enfermedad, desde tiempos inmemoriales.
Giorgio Colli
El problema de la inconmensurabilidad de la diagonal AC del cuadrado ABCD respecto a su lado AB (ver Figura),
nos conduce, si suponemos, por reductio ad absurdum, la conmensurabilidad, es decir, la existencia de una medida común: u, a su vez, a la conmensurabilidad de la diagonal CF del cuadrado EFGC respecto a su lado CE (con la misma medida común u) que, a su vez, implica la conmensurabilidad de la diagonal FJ del cuadrado FIJH respecto a su lado FI (con la misma medida común u):
Cumpliendo el numerador y denominador de cada fracción, las siguientes relaciones:
En general, iterando este procedimiento un número finito de pasos, tenemos:
Cumpliendo el numerador y denominador de cada fracción, las siguientes relaciones:
Ahora bien, este procedimiento geométrico no termina toda vez que la diagonal, no importando cuan pequeño sea el cuadrado, siempre es mayor que su lado. Por ende, podemos seguir dividiendo la diagonal del cuadrado respecto a su lado. Por otro lado, esto reflejaría un descenso infinito en la sucesión de valores que conforman los numeradores y denominadores de las respectivas proporciones: diagonal/lado, lo cual no puede suceder, ya que al ser las m’s y n’s números naturales, estas sucesiones descendentes de valores naturales tienen un valor mínimo: 1, más allá de este valor no pueden disminuir. En otras palabras, el procedimiento geométrico exhibe un comportamiento de descenso infinito, o de divisibilidad infinita, y en la aritmética este proceso de descenso es, necesariamente, finito. Es decir, El principio del buen orden, impide que estas dos sucesiones de valores de m’s y n’s descienda infinitamente, ya que todo subconjunto de los números naturales, diferente del vacío, tiene un primer elemento. En este caso, un elemento mínimo.
Por otro lado, mostrar la irracionalidad de la proporción de la diagonal de un cuadrado respecto a su lado: 
, nos conduce, nuevamente, si suponemos, por reductio ad absurdum, la racionalidad, es decir, la existencia de dos números naturales m y n tal que el máximo común divisor de m y n sea 1:
En general,
Intuitivamente, podría uno pensar, en analogía con el descenso infinito que subyace a la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado respecto a su lado, que el número primo p podría dividir a otro producto de números naturales menor que el producto ab, es decir, rs<ab, y, a su vez, iterando este razonamiento, podría p dividir a un producto menor, tu, que el producto rs:
¿Podríamos continuar este procedimiento ad infinitum? La intuición nos dice que este procedimiento tiene que terminar en un paso finito, ya que no podemos seguir disminuyendo infinitamente este producto de números naturales y, sobre todo, cumpliendo la propiedad de que p lo divida. Lo anterior nos conduce, apelando al Principio del Buen Orden, al siguiente razonamiento:
Sin perdida de generalidad, podemos suponer que a y b son mínimos con la propiedad que p divide al producto ab. Por reductio ad absurdum, supongamos que
Entonces,
Así
pero p|m+n y p|m, entonces p|(m+n)-m, es decir, p|n. Por otro lado, 0<r1r2<ab. Así pues, p|r1r2, pero ab era mínimo con la propiedad: p|ab. Por tanto,
En suma, hay una característica fundamental que diferencia a la aritmética vs. la geometría, a las cantidades discretas vs. las cantidades continuas: principio del descenso finito vs. principio de descenso infinito; principio de divisibilidad finita (Divisibilidad) vs. principio de divisibilidad infinita (Principio de Divisibilidad Infinita).